Théorèmes d'incomplétude de Gödel
Oui, et c'est démontré. Gödel a établi en 1931 que toute théorie assez riche pour contenir l'arithmétique laisse des énoncés vrais hors de portée de ses propres démonstrations.
Oui, et c'est démontré. Gödel a établi en 1931 que toute théorie assez riche pour contenir l'arithmétique laisse des énoncés vrais hors de portée de ses propres démonstrations.
En codant chaque formule et chaque démonstration par un entier, selon un procédé aujourd'hui appelé numérotation de Gödel. Une fois les énoncés devenus des nombres, parler de démontrabilité revient à parler d'une propriété arithmétique — et l'arithmétique peut alors décrire sa propre logique.
Parce que Hilbert voulait fonder les mathématiques sur une preuve de cohérence obtenue par des moyens finitistes, donc formalisables dans l'arithmétique. Or le second théorème montre qu'aucune théorie cohérente de ce type ne peut démontrer sa propre cohérence.