Aire
Pas du tout. Un rectangle d'un mètre carré peut mesurer 0,5 m sur 2 m, soit 5 m de périmètre, ou 0,001 m sur 1 000 m, soit plus de 2 000 m de périmètre. Il n'existe aucun lien direct entre l'aire et le périmètre d'une figure quelconque.
Pas du tout. Un rectangle d'un mètre carré peut mesurer 0,5 m sur 2 m, soit 5 m de périmètre, ou 0,001 m sur 1 000 m, soit plus de 2 000 m de périmètre. Il n'existe aucun lien direct entre l'aire et le périmètre d'une figure quelconque.
D'un découpage en triangles. Un polygone régulier à n sommets inscrit dans le cercle se partage en n triangles isocèles de même hauteur ; son aire vaut la moitié de cette hauteur multipliée par son périmètre. Quand n tend vers l'infini, la hauteur tend vers R et le périmètre vers 2πR : l'aire tend vers la moitié de R × 2πR, soit πR².
Oui, l'éponge de Menger. On partage un cube en 27 cubes égaux, on retire les cubes centraux pour n'en garder que 20, puis on recommence sur chacun des 20, indéfiniment. À chaque étape le volume diminue et l'aire augmente. À la limite, l'objet fractal a une aire infinie et un volume nul, avec les mêmes longueur, largeur et profondeur que le cube de départ.