Variance
Parce que la moyenne ignore l'étalement, que la variance mesure. Les notes 8, 10 et 12 ont pour moyenne 10, comme 2, 10 et 18. Mais la moyenne des carrés des écarts à 10 vaut (4 + 0 + 4)/3 ≈ 2,7 dans le premier cas et (64 + 0 + 64)/3 ≈ 42,7 dans le second. Deux populations de moyenne 100 peuvent de même avoir des variances de 100 et de 2 500.
Parce que la moyenne ignore l'étalement, que la variance mesure. Les notes 8, 10 et 12 ont pour moyenne 10, comme 2, 10 et 18. Mais la moyenne des carrés des écarts à 10 vaut (4 + 0 + 4)/3 ≈ 2,7 dans le premier cas et (64 + 0 + 64)/3 ≈ 42,7 dans le second. Deux populations de moyenne 100 peuvent de même avoir des variances de 100 et de 2 500.
À cause de la covariance : Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2 Cov(X, Y). Le terme croisé disparaît quand X et Y sont indépendantes, mais la réciproque est fausse. Et la variance n'est pas linéaire comme l'espérance : Var(aX + b) = a² Var(X).
Au fait que la moyenne empirique remplace l'espérance inconnue. La variance empirique, moyenne des carrés des écarts à cette moyenne calculée sur les mêmes données, a pour espérance (n − 1)σ²/n : elle sous-estime σ². La multiplier par n/(n − 1) corrige le biais. Si l'espérance μ est connue, la moyenne des carrés des écarts à μ est déjà sans biais.