Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
Au plus une sur neuf, quelle que soit la loi. L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev majore par σ²/α² la probabilité de s'écarter de l'espérance d'au moins α, σ étant l'écart type. Avec α = 3σ, la borne vaut 1/9, soit environ 11 % ; avec α = 2σ, elle vaut 1/4.
Au plus une sur neuf, quelle que soit la loi. L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev majore par σ²/α² la probabilité de s'écarter de l'espérance d'au moins α, σ étant l'écart type. Avec α = 3σ, la borne vaut 1/9, soit environ 11 % ; avec α = 2σ, elle vaut 1/4.
En s'appliquant à la moyenne de n variables indépendantes de même loi, dont la variance vaut σ²/n. La probabilité que la moyenne s'écarte de l'espérance d'au moins ε est alors majorée par σ²/(nε²), quantité qui tend vers 0 quand n grandit. Il suffit que la variance soit finie : aucune autre propriété de la loi n'intervient.
Pas dans le cas général. La loi qui donne −1 et 1 avec probabilité 1/(2k²) chacune, et 0 sinon, a pour écart type 1/k, et la probabilité de s'écarter de 0 d'au moins kσ = 1 vaut exactement 1/k², c'est-à-dire la borne elle-même. Le cas d'égalité n'est atteint que pour les transformations affines de cet exemple ; pour une loi donnée, la borne peut en revanche être très large.