# Valeur absolue

**Thème :** Maths · Analyse  
**Page :** https://curium.ctopass.com/c/valeur-absolue  
**Mise à jour :** 2026-09-11

## Les trois niveaux

### Débutant — Que reste-t-il d'un nombre quand on efface son signe ?

Sa valeur absolue, notée entre deux barres verticales : |−4| = |+4| = 4, et |−5| = 5, l'opposé de −5. C'est la distance du nombre à zéro sur la droite graduée. En programmation, la fonction qui la calcule s'appelle usuellement abs.

### Intermédiaire — Comment résoudre |x − 3| ≤ 9 sans distinguer de cas ?

En lisant |x − 3| comme la distance entre x et 3 : on cherche les réels situés à une distance au plus 9 de 3, c'est-à-dire l'intervalle de centre 3 et de rayon 9, [3 − 9 ; 3 + 9] = [−6 ; 12]. La règle générale est |a| ≤ b si et seulement si −b ≤ a ≤ b, qui transforme une inéquation avec barres en un encadrement ordinaire.

### Expert — Quelles règles suffisent à définir une valeur absolue sur un corps ?

Trois seulement : |x| = 0 si et seulement si x = 0, |x + y| ≤ |x| + |y|, et |xy| = |x| × |y|. Tout le reste s'en déduit, dont |−a| = |a| et |a/b| = |a|/|b|, et |y − x| devient une distance. Certaines vérifient même |x + y| ≤ max(|x|, |y|) : les valeurs absolues p-adiques sont de celles-là, dites ultramétriques.

## À explorer ensuite

- [Intervalle](https://curium.ctopass.com/c/intervalle.md)
- [Asymptote](https://curium.ctopass.com/c/asymptote.md)
- [Borne supérieure](https://curium.ctopass.com/c/borne-superieure.md)
- [Continuité](https://curium.ctopass.com/c/continuite.md)
- [Dérivabilité](https://curium.ctopass.com/c/derivabilite.md)
- [Dérivée](https://curium.ctopass.com/c/derivee.md)
- [Développement limité](https://curium.ctopass.com/c/developpement-limite.md)
- [Équation différentielle](https://curium.ctopass.com/c/equation-differentielle.md)
- [Fonction](https://curium.ctopass.com/c/fonction.md)
- [Fonction affine](https://curium.ctopass.com/c/fonction-affine.md)

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