# Théorème fondamental de l'algèbre

**Thème :** Maths · Algèbre  
**Page :** https://curium.ctopass.com/c/theoreme-fondamental-de-l-algebre  
**Mise à jour :** 2026-09-11

## Les trois niveaux

### Débutant — Un polynôme de degré 5 a-t-il forcément cinq racines ?

Oui, si on les cherche parmi les nombres complexes et qu'on compte chaque racine avec sa multiplicité. Le théorème fondamental de l'algèbre affirme que tout polynôme non constant à coefficients complexes admet au moins une racine. Factorisé racine après racine, un polynôme de degré n devient un produit de n facteurs de degré 1.

### Intermédiaire — Comment X⁴ + 4 se factorise-t-il sans quitter les nombres réels ?

En deux trinômes : X⁴ + 4 = (X² − 2X + 2)(X² + 2X + 2). Sur les complexes, 1 + i est racine de X⁴ + 4, donc son conjugué 1 − i aussi, et (X − 1 − i)(X − 1 + i) = X² − 2X + 2 a des coefficients réels. Le théorème garantit que ce regroupement par paires conjuguées aboutit toujours : sur les réels, les seuls irréductibles sont de degré 1, ou de degré 2 à discriminant négatif.

### Expert — Combien de fois Gauss a-t-il démontré le théorème fondamental de l'algèbre ?

Quatre fois : en 1799, 1815, 1816 et 1849. Sa thèse de 1799 reproche à Euler et Lagrange de supposer d'emblée l'existence des n racines, mais sa propre preuve, géométrique, reste incomplète : la lacune n'est comblée qu'en 1920 par Ostrowski. Entre-temps, en 1814, un amateur suisse, Jean-Robert Argand, publie une preuve solide et simple, bâtie sur le canevas de d'Alembert.

## À explorer ensuite

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