# Théorème des valeurs intermédiaires

**Thème :** Maths · Analyse  
**Page :** https://curium.ctopass.com/c/theoreme-des-valeurs-intermediaires  
**Mise à jour :** 2026-09-11

## Les trois niveaux

### Débutant — Un cycliste montant de 200 m à 1 520 m passe-t-il forcément par 1 000 m ?

Oui, dès lors qu'il ne se téléporte pas. La 10e étape du Tour de France 2008 partait de Pau, à 200 m, pour arriver à Hautacam, à 1 520 m, après 156 km. L'altitude est une fonction continue du kilométrage : chaque altitude intermédiaire est atteinte au moins une fois. C'est le théorème des valeurs intermédiaires.

### Intermédiaire — L'image de [a, b] par une fonction continue est-elle [f(a), f(b)] ?

Pas forcément. C'est un intervalle, mais pas toujours celui-là. Le sinus sur [0, π] a pour image [0, 1], alors que [sin 0, sin π] se réduit à {0}. Le théorème garantit seulement que toute valeur comprise entre f(a) et f(b) est atteinte ; rien n'interdit à la fonction d'aller plus loin entre les deux bornes.

### Expert — Pourquoi le théorème des valeurs intermédiaires est-il faux dans ℚ ?

Parce qu'il repose sur la complétude de ℝ. La fonction x ↦ x² − 2, de ℚ dans ℚ, est continue sur [0, 2], vaut −2 en 0 et 2 en 2, et aucun rationnel ne l'annule : √2 n'en est pas un. Les preuves utilisent la borne supérieure, chez Bolzano dès 1817, ou les fermés emboîtés pour la dichotomie. La rigueur complète attend la construction des réels, cinquante ans plus tard.

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