# Théorème des accroissements finis

**Thème :** Maths · Analyse  
**Page :** https://curium.ctopass.com/c/theoreme-des-accroissements-finis  
**Mise à jour :** 2026-09-11

## Les trois niveaux

### Débutant — Un compteur de vitesse peut-il rater la vitesse moyenne du trajet ?

Non. Si un véhicule parcourt une distance à la vitesse moyenne de 60 km/h, son compteur a indiqué au moins une fois exactement 60 km/h. C'est le théorème des accroissements finis : entre deux points d'une courbe dérivable, il existe toujours une tangente parallèle à la corde qui les joint. La pente moyenne est atteinte quelque part comme pente instantanée.

### Intermédiaire — Quand le point c du théorème des accroissements finis est-il unique ?

Pas toujours. Le théorème garantit un point c où f'(c) égale la pente de la corde, mais il peut y en avoir plusieurs. Pour une fonction dérivable sur un intervalle, ce point est unique pour tous les couples a < b si, et seulement si, la fonction est strictement convexe ou strictement concave.

### Expert — Pourquoi le théorème des accroissements finis échoue-t-il à valeurs vectorielles ?

Parce qu'il n'existe pas de théorème de Rolle vectoriel. La fonction f(t) = e^(it), à valeurs complexes, vérifie f(0) = f(2π) alors que sa dérivée ne s'annule jamais sur [0, 2π]. Aucune tangente n'est parallèle à la corde. Il ne subsiste qu'une inégalité : ‖f(b) − f(a)‖ ≤ M(b − a) dès que ‖f'‖ ≤ M.

## À explorer ensuite

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