# Théorème de Bachet-Bézout

**Thème :** Maths · Théorie des nombres  
**Page :** https://curium.ctopass.com/c/theoreme-de-bachet-bezout  
**Mise à jour :** 2026-09-11

## Les trois niveaux

### Débutant — Comment obtenir 6 en combinant des paquets de 12 et de 42 ?

En retirant trois paquets de 12 à un paquet de 42 : 42 − 3 × 12 = 6. Le théorème de Bachet-Bézout garantit que c'est possible dès qu'on vise le PGCD : 6 est le plus grand diviseur commun de 12 et 42, donc il existe deux entiers relatifs x et y tels que 12x + 42y = 6, ici x = −3 et y = 1.

### Intermédiaire — Combien de couples d'entiers vérifient l'équation 12x + 42y = 6 ?

Une infinité. À partir de la solution (−3, 1), tous les couples (−3 − 7k, 1 + 2k), pour k entier relatif, conviennent : 7 est le quotient 42/6 et 2 le quotient 12/6. Ainsi (4, −1) et (−10, 3) sont aussi des solutions. Les démonstrations n'en fournissent qu'une, par l'algorithme d'Euclide étendu par exemple, mais elle en engendre une infinité d'autres.

### Expert — Qu'a vraiment démontré Bézout dans le théorème qui porte son nom ?

Sa généralisation aux polynômes, au XVIIIe siècle. Pour les entiers, la première preuve connue est celle de Claude-Gaspard Bachet de Méziriac, dans la seconde édition de ses Problèmes plaisans et délectables, parue en 1624, à l'aide de l'algorithme d'Euclide. Bourbaki l'énonce ensuite sur un anneau principal quelconque, sous le seul nom de théorème de Bézout.

## À explorer ensuite

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