# Système linéaire

**Thème :** Maths · Algèbre  
**Page :** https://curium.ctopass.com/c/systeme-lineaire  
**Mise à jour :** 2026-09-11

## Les trois niveaux

### Débutant — Comment résoudre x − y = −1 et 3x + y = 9 d'un seul coup ?

En additionnant les deux lignes : les y s'annulent et il reste 4x = 8, donc x = 2, puis y = 3 grâce à la première équation. Le couple (2 ; 3) est la seule solution du système : sur un dessin, c'est le point où les deux droites se croisent.

### Intermédiaire — Combien de solutions un système de deux équations à deux inconnues peut-il avoir ?

Zéro, une ou une infinité, jamais deux. Chaque équation dessine une droite : sécantes, un point ; parallèles distinctes, aucun ; confondues, une infinité. Le déterminant ad − bc tranche : le système ax + by = e, cx + dy = f a une solution unique si et seulement s'il est non nul. Pour 4x + 2y = −1 et 3x − y = 2, il vaut −4 − 6 = −10, d'où l'unique couple (0,3 ; −1,1).

### Expert — Un système linéaire homogène peut-il n'avoir aucune solution ?

Jamais : Ax = 0 admet toujours la solution nulle, où toutes les inconnues valent 0. La vraie question est de savoir si elle est seule. Avec strictement moins d'équations que d'inconnues, il y en a une infinité. Pour des équations indépendantes à n inconnues, le compte décide : plus de n équations, aucune solution ; n exactement, une seule ; moins de n, une infinité.

## À explorer ensuite

- [Droite](https://curium.ctopass.com/c/droite.md)
- [Matrice](https://curium.ctopass.com/c/matrice.md)
- [Équation](https://curium.ctopass.com/c/equation.md)
- [Sous-espace vectoriel](https://curium.ctopass.com/c/sous-espace-vectoriel.md)
- [Théorème fondamental de l'algèbre](https://curium.ctopass.com/c/theoreme-fondamental-de-l-algebre.md)
- [Théorie des groupes](https://curium.ctopass.com/c/theorie-des-groupes.md)
- [Anneau](https://curium.ctopass.com/c/anneau.md)
- [Application linéaire](https://curium.ctopass.com/c/application-lineaire.md)
- [Coefficient binomial](https://curium.ctopass.com/c/coefficient-binomial.md)
- [Corps commutatif](https://curium.ctopass.com/c/corps-commutatif.md)

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