# Suite numérique

**Thème :** Maths · Analyse  
**Page :** https://curium.ctopass.com/c/suite-numerique  
**Mise à jour :** 2026-09-11

## Les trois niveaux

### Débutant — Comment Héron d'Alexandrie calculait-il √2 avec de simples moyennes ?

En partant d'un nombre quelconque, 1 par exemple, puis en remplaçant chaque valeur par la moyenne entre elle et 2 divisé par elle : 1, puis 1,5, puis 17/12 ≈ 1,4167, puis 577/408 ≈ 1,41422. Cette liste ordonnée de nombres est une suite, notée (uₙ), et son troisième terme après le départ donne déjà √2 = 1,41421… avec cinq décimales justes.

### Intermédiaire — Une suite croissante finit-elle toujours par dépasser n'importe quel nombre ?

Non. Si elle est majorée par un nombre M, le théorème de la limite monotone garantit qu'elle converge, vers une limite inférieure ou égale à M. La suite 0, 1/2, 2/3, 3/4, … croît sans jamais atteindre 1, et tend vers 1. Seule une suite croissante non majorée tend vers +∞.

### Expert — Une suite dont les termes se resserrent converge-t-elle forcément ?

Dans ℝ, oui ; dans ℚ, non. La suite de Héron pour √2, partie de 1, n'a que des termes rationnels, et ses termes finissent par être aussi proches les uns des autres qu'on veut : c'est une suite de Cauchy. Sa limite, √2, n'est pourtant pas rationnelle. Un espace où toute suite de Cauchy converge est dit complet : ℝ l'est, ℚ ne l'est pas.

## À explorer ensuite

- [Limite d'une suite](https://curium.ctopass.com/c/limite-d-une-suite.md)
- [Suite arithmétique](https://curium.ctopass.com/c/suite-arithmetique.md)
- [Suite géométrique](https://curium.ctopass.com/c/suite-geometrique.md)
- [Raisonnement par récurrence](https://curium.ctopass.com/c/raisonnement-par-recurrence.md)
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- [Développement limité](https://curium.ctopass.com/c/developpement-limite.md)
- [Équation différentielle](https://curium.ctopass.com/c/equation-differentielle.md)
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- [Fonction affine](https://curium.ctopass.com/c/fonction-affine.md)
- [Fonction carré](https://curium.ctopass.com/c/fonction-carre.md)

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