# Série numérique

**Thème :** Maths · Analyse  
**Page :** https://curium.ctopass.com/c/serie-numerique  
**Mise à jour :** 2026-09-11

## Les trois niveaux

### Débutant — Combien vaut 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + …, poursuivi sans fin ?

Exactement 1. Sur un segment de longueur 1, marquer 1/2, puis 1/4, puis 1/8 : il reste toujours autant de place que le morceau qu'on vient de marquer, et on n'atteint jamais le bout. La somme des n + 1 premiers termes vaut 1 − (1/2)^(n+1), qui tend vers 1. C'est une série convergente, et 1 est sa somme.

### Intermédiaire — Une série dont le terme général tend vers 0 converge-t-elle forcément ?

Non, et la série harmonique 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + … est le contre-exemple de référence : ses termes tendent vers 0 et pourtant ses sommes partielles dépassent tout nombre. Nicole Oresme l'a établi dès le XIVe siècle. La somme des 1/k jusqu'à n vaut ln n + γ + o(1), où γ est la constante d'Euler : elle grandit comme un logarithme, lentement mais sans borne.

### Expert — Comment donner la valeur 1/2 à la série 1 − 1 + 1 − 1 + … ?

Par le procédé de sommation de Cesàro. Les sommes partielles de la série de Grandi valent 1, 0, 1, 0… et n'ont pas de limite ; leurs moyennes successives, 1, 1/2, 2/3, 1/2, 3/5…, tendent vers 1/2. Cesàro remplace la limite des sommes partielles par la limite de leurs moyennes, une convergence plus faible qui donne un sens à certaines séries divergentes.

## À explorer ensuite

- [Suite géométrique](https://curium.ctopass.com/c/suite-geometrique.md)
- [Limite d'une suite](https://curium.ctopass.com/c/limite-d-une-suite.md)
- [Théorème des accroissements finis](https://curium.ctopass.com/c/theoreme-des-accroissements-finis.md)
- [Théorème des valeurs intermédiaires](https://curium.ctopass.com/c/theoreme-des-valeurs-intermediaires.md)
- [Théorème de Taylor](https://curium.ctopass.com/c/theoreme-de-taylor.md)
- [Théorème fondamental de l'analyse](https://curium.ctopass.com/c/theoreme-fondamental-de-l-analyse.md)
- [Valeur absolue](https://curium.ctopass.com/c/valeur-absolue.md)
- [Asymptote](https://curium.ctopass.com/c/asymptote.md)
- [Borne supérieure](https://curium.ctopass.com/c/borne-superieure.md)
- [Continuité](https://curium.ctopass.com/c/continuite.md)

---

Curium — La connaissance, une question à la fois.

App Store : https://apps.apple.com/fr/app/curium/id6793886587
Google Play : https://play.google.com/store/apps/details?id=com.ctopass.curium