# Relation d'équivalence

**Thème :** Maths · Logique mathématique  
**Page :** https://curium.ctopass.com/c/relation-d-equivalence  
**Mise à jour :** 2026-09-11

## Les trois niveaux

### Débutant — Que se passe-t-il quand on regroupe des livres par numéro ISBN identique ?

Chaque livre finit dans un paquet et un seul. Avec huit exemplaires, deux d'un dictionnaire, deux d'un livre de botanique, trois d'un manuel de mathématiques et un roman de science-fiction, la relation « a le même ISBN que » forme quatre paquets. Les paquets sont ses classes d'équivalence, et l'ensemble des quatre paquets est l'ensemble quotient.

### Intermédiaire — La relation « différer d'au plus 1 » entre entiers est-elle une équivalence ?

Non. Elle est réflexive, puisque |m − m| = 0, et symétrique, mais pas transitive : 1 ~ 2 et 2 ~ 3, alors que |1 − 3| = 2. On l'appelle une relation de tolérance. Un ordre a le défaut inverse : réflexif et transitif, mais pas symétrique. Il faut les trois propriétés à la fois.

### Expert — Combien de relations d'équivalence différentes admet un ensemble à 4 éléments ?

15, le nombre de Bell B4. Chaque relation d'équivalence découpe l'ensemble en classes, et toute partition définit en retour une relation : compter les relations, c'est compter les partitions. Pour {a, b, c, d}, cela fait 1 partition en un seul bloc, 7 en deux blocs, 6 en trois et 1 en quatre. Les nombres de Bell se calculent par récurrence.

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