# Rang

**Thème :** Maths · Algèbre  
**Page :** https://curium.ctopass.com/c/rang  
**Mise à jour :** 2026-09-13

## Les trois niveaux

### Débutant — Quatre lignes dans une matrice, mais combien d'informations indépendantes ?

Parfois deux seulement. Dans la matrice de lignes (1 ; 0 ; 2 ; 3), (2 ; 0 ; 4 ; 6), (0 ; 2 ; 2 ; 0) et (1 ; 2 ; 4 ; 3), la deuxième ligne est le double de la première, et la quatrième est la somme de la première et de la troisième. Seules deux lignes sont indépendantes : la matrice est de rang 2. Le rang compte les lignes, ou les colonnes, qui apportent vraiment quelque chose.

### Intermédiaire — Quel rang maximal pour une matrice de 3 lignes et 5 colonnes ?

Trois, pas cinq. Le rang est à la fois le nombre maximal de lignes indépendantes et le nombre maximal de colonnes indépendantes, et une matrice a toujours le même rang que sa transposée. Cinq colonnes à trois coordonnées ne peuvent donc pas être toutes indépendantes.

### Expert — Le rang d'une matrice peut-il dépendre du côté où l'on multiplie par les scalaires ?

Oui, dès que le corps des scalaires n'est pas commutatif. Bourbaki définit alors le rang par les colonnes, dans Kᵐ à droite, et démontre qu'il vaut aussi la dimension engendrée par les lignes dans Kⁿ à gauche. Avec a et c qui ne commutent pas, la matrice de lignes (a ; 1) et (ca ; c) est de rang 1, alors que ses deux colonnes sont indépendantes dans l'espace à gauche.

## À explorer ensuite

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