# Raisonnement par l'absurde

**Thème :** Maths · Logique mathématique  
**Page :** https://curium.ctopass.com/c/raisonnement-par-l-absurde  
**Mise à jour :** 2026-09-11

## Les trois niveaux

### Débutant — Comment prouver que zéro n'a pas d'inverse ?

En supposant le contraire. S'il existait un réel a tel que a × 0 = 1, alors, puisque 0 = 0 + 0, on aurait a × 0 = a × 0 + a × 0, c'est-à-dire 1 = 1 + 1 = 2. Cette égalité est fausse, donc l'hypothèse l'est aussi. Le raisonnement par l'absurde établit une proposition en montrant que son contraire mène à une contradiction.

### Intermédiaire — L'irrationalité de √2 se prouve-t-elle vraiment par l'absurde ?

Pas au sens strict. On suppose √2 = a/b avec a et b premiers entre eux, on en tire 2b² = a², donc a pair, puis b pair : contradiction, √2 n'est pas rationnel. Or déduire « non P » d'une contradiction issue de P, c'est la règle de réfutation, définition même de la négation, admise aussi en logique intuitionniste. L'absurde proprement dit part de « non P » pour conclure P.

### Expert — Que refuse exactement la logique intuitionniste dans le raisonnement par l'absurde ?

Le passage de « non P mène à une contradiction » à P, qui suppose l'élimination des doubles négations et le tiers exclu. L'intuitionniste garde la règle de réfutation mais rejette les preuves d'existence obtenues en supposant qu'un objet n'existe pas : elles concluent sans rien construire. Ce qui est prouvable en logique intuitionniste l'est donc sans lui.

## À explorer ensuite

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