# Racine carrée

**Thème :** Maths · Arithmétique & nombres  
**Page :** https://curium.ctopass.com/c/racine-carree  
**Mise à jour :** 2026-09-11

## Les trois niveaux

### Débutant — Le carré de −3 fait 9, alors pourquoi √9 ne vaut-il que 3 ?

Par définition. La racine carrée d'un réel positif x est l'unique réel positif dont le carré vaut x. Le nombre −3 est bien une racine carrée de 9, mais la racine carrée de 9, notée √9, désigne toujours la solution positive. La règle générale s'écrit √(x²) = |x| : la racine efface le signe.

### Intermédiaire — Comment tracer un segment de longueur √a à la règle et au compas ?

On aligne AO = 1 et OB = a, on trace le cercle de diamètre AB, puis la perpendiculaire à (AB) passant par O : elle coupe le cercle en H, et OH = √a. La preuve tient en une ligne : les triangles OAH et OHB sont semblables, donc OH² = AO × OB = a. La racine carrée d'un nombre constructible reste donc constructible.

### Expert — Peut-on prolonger la racine carrée à tous les nombres complexes ?

Pas de façon continue. Tout complexe non nul possède exactement deux racines carrées, opposées, mais il est impossible de choisir l'une d'elles pour chaque z en obtenant une fonction continue sur ℂ. La détermination principale, √r e^(iφ/2) avec −π < φ ≤ π, se brise le long des réels strictement négatifs, et la relation √(zz') = √z × √z' devient fausse en général.

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