# Plus grand commun diviseur

**Thème :** Maths · Arithmétique & nombres  
**Page :** https://curium.ctopass.com/c/plus-grand-commun-diviseur  
**Mise à jour :** 2026-09-11

## Les trois niveaux

### Débutant — Comment trouver le plus grand nombre qui divise à la fois 20 et 30 ?

En listant leurs diviseurs communs : 1, 2, 5 et 10. Le plus grand est 10, c'est le PGCD de 20 et 30. La liste est toujours finie, car un diviseur ne dépasse jamais le nombre qu'il divise, et jamais vide, car 1 divise tout. Un plus grand élément existe donc toujours.

### Intermédiaire — Pourquoi −3 est-il aussi un PGCD de 6 et 9 ?

Parce que la définition qui se généralise ne parle pas de taille mais de divisibilité : un PGCD de a et b est un diviseur commun d que tout autre diviseur commun divise. Tout diviseur commun à 6 et 9 divise 3, donc aussi −3. Pour les entiers, on retient par convention le PGCD positif, qui coïncide avec le plus grand au sens usuel, sauf dans le cas de PGCD(0, 0).

### Expert — Deux nombres ont-ils toujours un PGCD ?

Pas dans tout anneau. Dans ℤ[i√3], les éléments 4 et 2 + 2i√3 admettent 2 et 1 + i√3 comme diviseurs communs, mais aucun élément divisible à la fois par 2 et par 1 + i√3 ne les divise tous les deux : ils n'ont pas de PGCD. L'existence est garantie dans les anneaux factoriels, et les anneaux où elle vaut pour tout couple s'appellent anneaux à PGCD.

## À explorer ensuite

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