# Petit théorème de Fermat

**Thème :** Maths · Théorie des nombres  
**Page :** https://curium.ctopass.com/c/petit-theoreme-de-fermat  
**Mise à jour :** 2026-09-11

## Les trois niveaux

### Débutant — Comment savoir sans calculer que 2^97 − 2 est divisible par 97 ?

Grâce au petit théorème de Fermat : si p est premier, alors a^p − a est un multiple de p pour tout entier a. Avec a = 2 et p = 97, le nombre 2^97 − 2, qui compte trente chiffres, est donc divisible par 97 sans qu'on pose la division. Même chose pour 5³ − 5 = 120, multiple de 3.

### Intermédiaire — Un nombre qui passe le test de Fermat est-il forcément premier ?

Non. Le théorème donne une condition nécessaire, pas suffisante. Le nombre 1729 = 7 × 13 × 19 n'est pas premier, et pourtant a^1728 est congru à 1 modulo 1729 pour tout a premier avec lui : c'est un nombre de Carmichael. Les tests fondés sur Fermat, comme Miller-Rabin, sont donc probabilistes ; un entier composé qui les passe s'appelle un pseudo-premier.

### Expert — Combien de temps le petit théorème de Fermat est-il resté sans preuve publiée ?

Un siècle. Fermat l'énonce dans une lettre à Frénicle de Bessy du 18 octobre 1640, sans démonstration, « si je n'appréhendois d'être trop long ». Leibniz en rédige une vers 1683 mais ne la publie pas. La première preuve imprimée est celle d'Euler, en 1741. Quant à l'adjectif « petit », il n'apparaît qu'en 1913, chez Kurt Hensel.

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