# Permutation

**Thème :** Maths · Algèbre  
**Page :** https://curium.ctopass.com/c/permutation  
**Mise à jour :** 2026-09-11

## Les trois niveaux

### Débutant — De combien de façons peut-on sonner six cloches l'une après l'autre ?

720. Six choix pour la première cloche, cinq pour la deuxième, quatre pour la troisième, et ainsi de suite : 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720, ce que l'on note 6!, factorielle de 6. Chaque ordre est une permutation des cloches numérotées de 1 à 6, comme (3, 2, 6, 5, 1, 4).

### Intermédiaire — Que reste-t-il invariant quand on découpe une permutation en transpositions ?

Pas le nombre d'échanges, mais sa parité. On peut toujours ajouter deux fois le même échange, la décomposition n'est donc jamais unique ; en revanche, le nombre de transpositions est toujours pair, ou toujours impair, pour une permutation donnée. C'est ce qui définit sa signature, +1 ou −1. Le minimum vaut n − p, avec p le nombre de cycles, points fixes compris.

### Expert — Une permutation de 100 objets a-t-elle souvent un cycle de plus de 50 éléments ?

Dans 69 % des cas. Un tel cycle est forcément unique, et pour chaque longueur k de 51 à 100, exactement 100!/k permutations en possèdent un. La probabilité vaut donc 1/51 + 1/52 + … + 1/100, soit environ 0,688. C'est le fait qui justifie une stratégie du problème des 100 prisonniers, analysée par Jean-Paul Delahaye dans Pour la Science en 2016.

## À explorer ensuite

- [Groupe symétrique](https://curium.ctopass.com/c/groupe-symetrique.md)
- [Dénombrement](https://curium.ctopass.com/c/denombrement.md)
- [Nombre complexe](https://curium.ctopass.com/c/nombre-complexe.md)
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- [Sous-espace vectoriel](https://curium.ctopass.com/c/sous-espace-vectoriel.md)
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- [Théorème fondamental de l'algèbre](https://curium.ctopass.com/c/theoreme-fondamental-de-l-algebre.md)
- [Théorie des groupes](https://curium.ctopass.com/c/theorie-des-groupes.md)
- [Anneau](https://curium.ctopass.com/c/anneau.md)

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