# Partie entière

**Thème :** Maths · Analyse  
**Page :** https://curium.ctopass.com/c/partie-entiere  
**Mise à jour :** 2026-09-11

## Les trois niveaux

### Débutant — Que vaut la partie entière de −2,7 : −2 ou −3 ?

−3. La partie entière d'un réel x est le plus grand entier inférieur ou égal à x, et −3 est bien le dernier entier en dessous de −2,7. Effacer les décimales donne −2, mais c'est une autre opération, la troncature, qui ne coïncide avec la partie entière que pour les nombres positifs. Pour 2,7, les deux donnent 2.

### Intermédiaire — La partie entière d'une somme est-elle la somme des parties entières ?

Pas toujours. Pour 0,6 et 0,7, les parties entières valent 0 et 0, mais celle de 1,3 vaut 1. L'égalité peut manquer d'une unité, jamais plus : ⌊x⌋ + ⌊y⌋ ≤ ⌊x + y⌋ ≤ ⌊x⌋ + ⌊y⌋ + 1. Elle est exacte dès qu'un des deux nombres est entier : ⌊x + n⌋ = ⌊x⌋ + n pour tout entier n.

### Expert — Comment une somme de parties entières calcule-t-elle un PGCD ?

Par la formule dite de Sylvester, ou de Polezzi : pour a et b entiers strictement positifs, la somme des ⌊ka/b⌋ pour k allant de 0 à b − 1 vaut ((a − 1)(b − 1) + pgcd(a, b) − 1)/2. Elle s'inverse en pgcd(a, b) = a + b − ab + 2 × (cette somme). Pour a = 4 et b = 6, la somme vaut 0 + 0 + 1 + 2 + 2 + 3 = 8, et 4 + 6 − 24 + 16 donne bien 2.

## À explorer ensuite

- [Nombre décimal](https://curium.ctopass.com/c/nombre-decimal.md)
- [Suite géométrique](https://curium.ctopass.com/c/suite-geometrique.md)
- [Suite numérique](https://curium.ctopass.com/c/suite-numerique.md)
- [Théorème de Bolzano-Weierstrass](https://curium.ctopass.com/c/theoreme-de-bolzano-weierstrass.md)
- [Théorème de Rolle](https://curium.ctopass.com/c/theoreme-de-rolle.md)
- [Théorème des accroissements finis](https://curium.ctopass.com/c/theoreme-des-accroissements-finis.md)
- [Théorème des valeurs intermédiaires](https://curium.ctopass.com/c/theoreme-des-valeurs-intermediaires.md)
- [Théorème de Taylor](https://curium.ctopass.com/c/theoreme-de-taylor.md)
- [Théorème fondamental de l'analyse](https://curium.ctopass.com/c/theoreme-fondamental-de-l-analyse.md)
- [Valeur absolue](https://curium.ctopass.com/c/valeur-absolue.md)

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