# Paradoxe de Saint-Pétersbourg

**Thème :** Maths · Probabilités et statistiques  
**Page :** https://curium.ctopass.com/c/paradoxe-de-saint-petersbourg  
**Mise à jour :** 2026-09-30

## Les trois niveaux

### Débutant — Combien paierais-tu pour jouer à un jeu dont le gain moyen est infini ?

On lance une pièce jusqu'au premier face, et ton gain double à chaque pile obtenu avant lui. Le calcul donne un gain moyen infini, si bien que n'importe quelle mise semblerait rentable. Pourtant presque personne n'accepterait de payer plus de quelques dizaines d'euros pour jouer.

### Intermédiaire — Pourquoi le jeu du paradoxe de Saint-Pétersbourg promet-il une espérance infinie ?

Parce que chaque issue pèse exactement un demi-euro. Face au premier lancer rapporte 1 euro avec une chance sur deux ; face au deuxième rapporte 2 euros avec une chance sur quatre. La probabilité se divise par deux quand le gain double, donc chaque cas ajoute un demi-euro, et la somme de ces demi-euros ne s'arrête jamais.

### Expert — Comment Daniel Bernoulli a-t-il désamorcé le paradoxe de Saint-Pétersbourg ?

En remplaçant l'argent par sa valeur ressentie. Pour lui, doubler une somme n'ajoute qu'une unité d'utilité, ce qui rend l'utilité espérée du jeu finie et modeste. Karl Menger a montré en 1934 que la parade reste fragile, car il suffit d'un jeu aux gains encore plus explosifs pour faire revenir le paradoxe.

## À explorer ensuite

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