# Nombre rationnel

**Thème :** Maths · Arithmétique & nombres  
**Page :** https://curium.ctopass.com/c/nombre-rationnel  
**Mise à jour :** 2026-09-11

## Les trois niveaux

### Débutant — Combien d'écritures différentes possède un même nombre rationnel ?

Une infinité : 1/2 = 2/4 = 3/6 = … désignent le même nombre. Une seule de ces fractions est privilégiée, la fraction irréductible, dont le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux, avec un dénominateur positif. Pour 1/2, 2/4 et 3/6, c'est 1/2.

### Intermédiaire — À quoi reconnaît-on un nombre rationnel dans ses décimales ?

Son développement décimal est fini, comme 1/2 = 0,5, ou périodique à partir d'un certain rang : 3/105 = 0,0285 714285 714285… répète le bloc 714285 sans fin. La réciproque est vraie aussi, et dans n'importe quelle base. Un nombre comme 0,12 122 1222 12222…, dont les séquences de 2 s'allongent, n'a pas de période : il est irrationnel.

### Expert — Les nombres rationnels suffisent-ils pour fonder l'analyse ?

Non, et deux défauts précis le montrent. L'ensemble des rationnels x tels que x² < 2 est majoré mais n'a pas de plus petit majorant. Et la suite de Héron, qui part de 1 et remplace chaque terme x par x/2 + 1/x, est de Cauchy mais ne converge vers aucun rationnel. Combler ces trous, c'est construire les nombres réels.

## À explorer ensuite

- [Fraction](https://curium.ctopass.com/c/fraction.md)
- [Nombre réel](https://curium.ctopass.com/c/nombre-reel.md)
- [Zéro](https://curium.ctopass.com/c/zero.md)
- [Division euclidienne](https://curium.ctopass.com/c/division-euclidienne.md)
- [Entier relatif](https://curium.ctopass.com/c/entier-relatif.md)
- [Nombre décimal](https://curium.ctopass.com/c/nombre-decimal.md)
- [Nombre irrationnel](https://curium.ctopass.com/c/nombre-irrationnel.md)
- [Nombre premier](https://curium.ctopass.com/c/nombre-premier.md)
- [Numération de position](https://curium.ctopass.com/c/numeration-de-position.md)
- [Plus grand commun diviseur](https://curium.ctopass.com/c/plus-grand-commun-diviseur.md)

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