# Nombre irrationnel

**Thème :** Maths · Arithmétique & nombres  
**Page :** https://curium.ctopass.com/c/nombre-irrationnel  
**Mise à jour :** 2026-09-11

## Les trois niveaux

### Débutant — Comment reconnaître un nombre irrationnel à ses décimales ?

Elles ne se répètent jamais. Un réel est irrationnel si et seulement si son développement décimal n'est pas périodique : 1/3 = 0,333… et 22/7 = 3,142857142857… finissent par boucler, √2 ou π jamais. Le nombre 0,123456789101112…, formé des entiers écrits à la suite, est ainsi irrationnel : il contient des séries de zéros aussi longues qu'on veut, ce qu'aucune période ne permet.

### Intermédiaire — Que se passe-t-il quand on suppose √2 égal à une fraction a/b ?

Tout devient pair. Avec a et b premiers entre eux, √2 = a/b donne 2b² = a² : a² est pair, donc a aussi, et a = 2k. Alors 2b² = 4k², soit b² = 2k² : b est pair à son tour. Les deux entiers sont pairs et ne sont donc pas premiers entre eux, contradiction. Ce raisonnement par l'absurde, fondé sur le pair et l'impair, est déjà cité par Aristote.

### Expert — Sait-on si la somme π + e est un nombre irrationnel ?

Non. On ignore si π + e et π − e sont irrationnels, tout comme 2^e, π^e, π^√2 ou la constante γ d'Euler-Mascheroni. Pour γ, on sait seulement que si elle était rationnelle, son dénominateur compterait au moins 242 080 chiffres. Presque tous les réels sont pourtant irrationnels : ce sont les cas particuliers qui résistent.

## À explorer ensuite

- [Nombre pi](https://curium.ctopass.com/c/nombre-pi.md)
- [Nombre réel](https://curium.ctopass.com/c/nombre-reel.md)
- [Racine carrée](https://curium.ctopass.com/c/racine-carree.md)
- [Raisonnement par l'absurde](https://curium.ctopass.com/c/raisonnement-par-l-absurde.md)
- [Division euclidienne](https://curium.ctopass.com/c/division-euclidienne.md)
- [Entier relatif](https://curium.ctopass.com/c/entier-relatif.md)
- [Fraction](https://curium.ctopass.com/c/fraction.md)
- [Nombre décimal](https://curium.ctopass.com/c/nombre-decimal.md)
- [Nombre premier](https://curium.ctopass.com/c/nombre-premier.md)
- [Nombre rationnel](https://curium.ctopass.com/c/nombre-rationnel.md)

---

Curium — La connaissance, une question à la fois.

App Store : https://apps.apple.com/fr/app/curium/id6793886587
Google Play : https://play.google.com/store/apps/details?id=com.ctopass.curium