# Loi de Bernoulli

**Thème :** Maths · Probabilités et statistiques  
**Page :** https://curium.ctopass.com/c/loi-de-bernoulli  
**Mise à jour :** 2026-09-11

## Les trois niveaux

### Débutant — Comment décrire un pile ou face avec un seul nombre ?

Par une loi de Bernoulli, du nom du mathématicien suisse Jacques Bernoulli : la variable vaut 1, le succès, avec la probabilité p, et 0, l'échec, avec la probabilité 1 − p. Le résultat d'un pile ou face suit une loi de Bernoulli de paramètre 0,5. Ce paramètre p est aussi l'espérance de la variable, puisque 0 × (1 − p) + 1 × p = p.

### Intermédiaire — Quand la variance d'une loi de Bernoulli est-elle la plus grande ?

Pour p = 1/2, où elle atteint 1/4. La variance vaut p(1 − p) : nulle en p = 0 comme en p = 1, quand le résultat est certain, elle est maximale quand succès et échec sont équiprobables. La somme de n variables de Bernoulli indépendantes de même paramètre suit une loi binomiale (n, p), de variance np(1 − p).

### Expert — Combien de points fixes compte une permutation tirée au hasard ?

En moyenne un seul, quelle que soit la taille n. Le nombre N de points fixes s'écrit comme la somme de n variables de Bernoulli, la k-ième valant 1 si la boule k est dans la boîte k, chacune de paramètre 1/n ; l'espérance de la somme vaut donc n × 1/n = 1, sans besoin d'indépendance. La variance vaut aussi 1, et la loi de N tend vers la loi de Poisson de paramètre 1.

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