# Loi binomiale

**Thème :** Maths · Probabilités et statistiques  
**Page :** https://curium.ctopass.com/c/loi-binomiale  
**Mise à jour :** 2026-09-11

## Les trois niveaux

### Débutant — Quelle chance a-t-on d'obtenir exactement un 1 en trois lancers de dé ?

Environ 35 %, exactement 75/216. Le 1 peut sortir au premier, au deuxième ou au troisième lancer : trois configurations, chacune de probabilité 1/6 × 5/6 × 5/6 = 25/216, d'où 3 × 25/216. C'est une loi binomiale de paramètres n = 3 et p = 1/6, le nombre de succès dans trois épreuves identiques et indépendantes.

### Intermédiaire — Quel nombre de succès une loi binomiale rend-elle le plus probable ?

La partie entière de (n + 1)p, appelée mode. Pour 60 lancers de dé avec le 1 pour succès, (n + 1)p = 61/6 ≈ 10,17 : le mode est 10, qui est aussi l'espérance np. Quand np est entier, mode, moyenne et médiane coïncident tous les trois. L'écart-type vaut √(np(1 − p)), soit environ 2,9 ici.

### Expert — Quand vaut-il mieux approcher une loi binomiale par Poisson que par la normale ?

Quand p est proche de 0 ou de 1. L'approximation normale, issue du théorème de Moivre-Laplace de 1733, est la meilleure pour p éloigné des bords. Si p est petit avec np stable, la binomiale converge vers une loi de Poisson de paramètre λ = np, dite loi des événements rares ; Prokhorov a borné en 1953 l'erreur totale par le minimum de 2np² et 3p.

## À explorer ensuite

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