# Logarithme népérien

**Thème :** Maths · Analyse  
**Page :** https://curium.ctopass.com/c/logarithme-neperien  
**Mise à jour :** 2026-09-11

## Les trois niveaux

### Débutant — Que devient une multiplication quand on passe au logarithme népérien ?

Une addition : ln(x × y) = ln(x) + ln(y). Une division devient une soustraction, et une puissance une multiplication : ln(a^r) = r × ln(a). Comme ln(e) = 1, on obtient ln(e³) = 3 et ln(1/e) = −1 sans rien calculer. C'est ce qui rendait les logarithmes si précieux : produits, quotients et racines se ramenaient à des sommes.

### Intermédiaire — Quelle aire mesure ln(a) sous l'hyperbole d'équation y = 1/x ?

L'aire du domaine compris entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites verticales x = 1 et x = a. Le logarithme népérien est la primitive de x ↦ 1/x qui s'annule en 1. D'où ses propriétés : dérivée 1/x, donc strictement croissant ; dérivée décroissante, donc concave ; tangente de pente 1 au point (1, 0). Jusqu'au XXe siècle, on l'appelait logarithme hyperbolique.

### Expert — Le logarithme népérien doit-il vraiment quelque chose à John Napier ?

Presque rien. Napier a établi les premières tables de logarithmes, mais ce ne sont pas des tables de logarithmes népériens. L'origine est datée de 1647, quand Grégoire de Saint-Vincent, travaillant à la quadrature de l'hyperbole, montre que l'aire obtenue vérifie l'additivité des logarithmes, sans voir le lien avec Napier. Son disciple Alphonse de Sarasa l'établit en 1649.

## À explorer ensuite

- [Fonction exponentielle](https://curium.ctopass.com/c/fonction-exponentielle.md)
- [Nombre e](https://curium.ctopass.com/c/nombre-e.md)
- [Dérivée](https://curium.ctopass.com/c/derivee.md)
- [Développement limité](https://curium.ctopass.com/c/developpement-limite.md)
- [Équation différentielle](https://curium.ctopass.com/c/equation-differentielle.md)
- [Fonction](https://curium.ctopass.com/c/fonction.md)
- [Fonction affine](https://curium.ctopass.com/c/fonction-affine.md)
- [Fonction carré](https://curium.ctopass.com/c/fonction-carre.md)
- [Fonction convexe](https://curium.ctopass.com/c/fonction-convexe.md)
- [Fonction inverse](https://curium.ctopass.com/c/fonction-inverse.md)

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