# Lemme d'Euclide

**Thème :** Maths · Théorie des nombres  
**Page :** https://curium.ctopass.com/c/lemme-d-euclide  
**Mise à jour :** 2026-09-11

## Les trois niveaux

### Débutant — Si 7 divise un produit de deux entiers, divise-t-il l'un des deux ?

Oui, parce que 7 est premier : c'est le lemme d'Euclide, proposition 30 du livre VII des Éléments. Si 7 divise 14 × 15 = 210, il divise 14. Avec un diviseur non premier, la conclusion tombe : 6 divise 4 × 9 = 36 sans diviser ni 4 ni 9, car ses facteurs 2 et 3 se répartissent entre les deux.

### Intermédiaire — Que reste-t-il du lemme d'Euclide quand le diviseur n'est plus premier ?

Le lemme de Gauss, qui remplace la primalité par une condition relative : si a divise bc et si a est premier avec b, alors a divise c. La preuve tient en une ligne : a divise ac et bc, donc leur PGCD, qui vaut PGCD(a, b) × c = c. Le lemme d'Euclide en est le cas où a est premier, puisqu'un nombre premier qui ne divise pas b est premier avec lui.

### Expert — À quoi sert le lemme d'Euclide dans les Disquisitiones arithmeticae de Gauss ?

À prouver l'unicité de la décomposition en facteurs premiers. Gauss en fait la proposition 14 de la deuxième section, tient l'existence pour évidente, en déduit l'unicité au théorème 16, puis tire de cette unicité « son » lemme, à l'article 19. Le lemme dit de Gauss figurait pourtant déjà dans les Nouveaux élémens de mathématiques de Jean Prestet, en 1689.

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