# Intégration par parties

**Thème :** Maths · Analyse  
**Page :** https://curium.ctopass.com/c/integration-par-parties  
**Mise à jour :** 2026-09-11

## Les trois niveaux

### Débutant — Comment intégrer x cos x, un produit dont aucune table ne donne la primitive ?

En dérivant un facteur et en intégrant l'autre. On dérive x, qui devient 1, et on intègre cos x, qui devient sin x : l'intégrale de x cos x entre 0 et π/3 vaut [x sin x] moins l'intégrale de sin x, soit π√3/6 − 1/2. C'est l'intégration par parties, la règle de dérivation d'un produit lue à l'envers.

### Intermédiaire — Lequel des deux facteurs faut-il dériver dans une intégration par parties ?

Celui dont la dérivée simplifie le plus. Pour l'intégrale de x ln x entre 1 et 2, dériver ln x donne 1/x, qui s'annule contre la primitive x²/2, et le calcul aboutit à 2 ln 2 − 3/4. Dériver x à la place oblige à intégrer ln x, et l'intégrale obtenue est plus compliquée qu'au départ. Le moyen mnémotechnique ALPES fixe l'ordre : arc, logarithme, polynôme, exponentielle, sinus.

### Expert — Que devient l'intégration par parties pour une fonction de plusieurs variables ?

Le crochet [uv] devient une intégrale sur la frontière. Sur un ouvert borné Ω de bord Γ, la règle div(uV) = u div V + grad u · V et le théorème de la divergence donnent : l'intégrale de u div V sur Ω égale l'intégrale de u V · n sur Γ moins celle de grad u · V sur Ω. Avec V = grad u, c'est la première identité de Green.

## À explorer ensuite

- [Théorème fondamental de l'analyse](https://curium.ctopass.com/c/theoreme-fondamental-de-l-analyse.md)
- [Dérivée](https://curium.ctopass.com/c/derivee.md)
- [Partie entière](https://curium.ctopass.com/c/partie-entiere.md)
- [Série numérique](https://curium.ctopass.com/c/serie-numerique.md)
- [Suite arithmétique](https://curium.ctopass.com/c/suite-arithmetique.md)
- [Suite géométrique](https://curium.ctopass.com/c/suite-geometrique.md)
- [Suite numérique](https://curium.ctopass.com/c/suite-numerique.md)
- [Théorème de Bolzano-Weierstrass](https://curium.ctopass.com/c/theoreme-de-bolzano-weierstrass.md)
- [Théorème de Rolle](https://curium.ctopass.com/c/theoreme-de-rolle.md)
- [Théorème des accroissements finis](https://curium.ctopass.com/c/theoreme-des-accroissements-finis.md)

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