# Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

**Thème :** Maths · Probabilités et statistiques  
**Page :** https://curium.ctopass.com/c/inegalite-de-bienayme-tchebychev  
**Mise à jour :** 2026-09-11

## Les trois niveaux

### Débutant — Combien de chances a-t-on de tomber à trois écarts types de la moyenne ?

Au plus une sur neuf, quelle que soit la loi. L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev majore par σ²/α² la probabilité de s'écarter de l'espérance d'au moins α, σ étant l'écart type. Avec α = 3σ, la borne vaut 1/9, soit environ 11 % ; avec α = 2σ, elle vaut 1/4.

### Intermédiaire — Comment Bienaymé-Tchebychev démontre-t-elle la loi faible des grands nombres ?

En s'appliquant à la moyenne de n variables indépendantes de même loi, dont la variance vaut σ²/n. La probabilité que la moyenne s'écarte de l'espérance d'au moins ε est alors majorée par σ²/(nε²), quantité qui tend vers 0 quand n grandit. Il suffit que la variance soit finie : aucune autre propriété de la loi n'intervient.

### Expert — Peut-on améliorer la borne σ²/α² de Bienaymé-Tchebychev ?

Pas dans le cas général. La loi qui donne −1 et 1 avec probabilité 1/(2k²) chacune, et 0 sinon, a pour écart type 1/k, et la probabilité de s'écarter de 0 d'au moins kσ = 1 vaut exactement 1/k², c'est-à-dire la borne elle-même. Le cas d'égalité n'est atteint que pour les transformations affines de cet exemple ; pour une loi donnée, la borne peut en revanche être très large.

## À explorer ensuite

- [Variance](https://curium.ctopass.com/c/variance.md)
- [Loi des grands nombres](https://curium.ctopass.com/c/loi-des-grands-nombres.md)
- [Dénombrement](https://curium.ctopass.com/c/denombrement.md)
- [Écart type](https://curium.ctopass.com/c/ecart-type.md)
- [Espérance mathématique](https://curium.ctopass.com/c/esperance-mathematique.md)
- [Intervalle de fluctuation](https://curium.ctopass.com/c/intervalle-de-fluctuation.md)
- [Loi binomiale](https://curium.ctopass.com/c/loi-binomiale.md)
- [Loi de Bernoulli](https://curium.ctopass.com/c/loi-de-bernoulli.md)
- [Médiane](https://curium.ctopass.com/c/mediane.md)
- [Moyenne arithmétique](https://curium.ctopass.com/c/moyenne-arithmetique.md)

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