# Identité remarquable

**Thème :** Maths · Algèbre  
**Page :** https://curium.ctopass.com/c/identite-remarquable  
**Mise à jour :** 2026-09-11

## Les trois niveaux

### Débutant — Que manque-t-il quand on écrit (a + b)² = a² + b² ?

Le double produit 2ab : la bonne formule est (a + b)² = a² + 2ab + b². Un carré de côté a + b se découpe en un carré de côté a, un carré de côté b et deux rectangles de côtés a et b. Les deux rectangles sont le terme oublié.

### Intermédiaire — Comment une identité remarquable résout-elle x² + 2x − 5 = 0 ?

En reconstituant un carré. On écrit x² + 2x − 5 = x² + 2x + 1 − 6 = (x + 1)² − 6, puis (x + 1)² − (√6)² = (x + 1 + √6)(x + 1 − √6). Un produit est nul si et seulement si l'un des facteurs l'est : les solutions sont −1 − √6 et −1 + √6. Appliquée à ax² + bx + c, la même manœuvre fait apparaître le discriminant.

### Expert — Comment Brahmagupta approchait-il √3 avec une identité du quatrième degré ?

Avec (a² − nb²)(c² − nd²) = (ac + nbd)² − n(ad + bc)², pour n = 3. Partant de 2² − 3 × 1² = 1, il obtient 7² − 3 × 4² = 1, puis 97² − 3 × 56² = 1, puis 18 817² − 3 × 10 864² = 1. Le carré de 18 817/10 864 vaut 3 + 1/10 864², et la fraction donne 1,73205081 : neuf chiffres exacts de √3.

## À explorer ensuite

- [Équation](https://curium.ctopass.com/c/equation.md)
- [Équation du second degré](https://curium.ctopass.com/c/equation-du-second-degre.md)
- [Fraction rationnelle](https://curium.ctopass.com/c/fraction-rationnelle.md)
- [Groupe symétrique](https://curium.ctopass.com/c/groupe-symetrique.md)
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- [Racine de l'unité](https://curium.ctopass.com/c/racine-de-l-unite.md)
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