# Hôtel de Hilbert

**Thème :** Maths · Logique mathématique  
**Page :** https://curium.ctopass.com/c/hotel-de-hilbert  
**Mise à jour :** 2026-09-30

## Les trois niveaux

### Débutant — Comment un hôtel complet peut-il quand même accueillir un client de plus ?

Il suffit qu'il ait une infinité de chambres. Chaque client passe alors dans la chambre suivante, la 1 en 2, la 2 en 3, et ainsi de suite. Personne ne reste dehors, puisqu'il n'existe pas de dernière chambre, et la chambre 1 se libère.

### Intermédiaire — Comment l'hôtel de Hilbert loge-t-il une infinité d'autocars pleins ?

Grâce aux nombres premiers. Le client de la chambre n part dans la chambre 2ⁿ. Le passager n du premier car prend la chambre 3ⁿ, celui du deuxième car la chambre 5ⁿ, et ainsi de suite. Comme chaque entier se décompose d'une seule façon en facteurs premiers, deux personnes ne tombent jamais dans la même chambre.

### Expert — Quelle foule l'hôtel de Hilbert ne pourra-t-il jamais loger ?

Une foule qui compterait un passager pour chaque nombre réel. Tous les tours de l'hôtel supposent qu'on puisse numéroter les arrivants, et Cantor a montré que les réels refusent de se laisser numéroter.

## À explorer ensuite

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