# Groupe symétrique

**Thème :** Maths · Algèbre  
**Page :** https://curium.ctopass.com/c/groupe-symetrique  
**Mise à jour :** 2026-09-11

## Les trois niveaux

### Débutant — Combien de mouvements ramènent un triangle équilatéral sur lui-même ?

Six : l'identité, les trois symétries par rapport aux médianes, et deux rotations d'un tiers de tour, dans un sens ou dans l'autre. Chacun permute les trois sommets A, B, C, et ces six permutations forment le groupe symétrique de {A, B, C}. Avec n objets, il y a n! permutations : 3! = 3 × 2 × 1 = 6.

### Intermédiaire — Pourquoi exactement la moitié des permutations sont-elles paires ?

Parce que composer par une transposition t fixée envoie chaque permutation paire sur une impaire, et réciproquement, sans perte : c'est une bijection entre les deux camps. Les permutations paires forment le groupe alterné Aₙ, noyau de la signature, sous-groupe d'indice 2 de Sₙ, donc d'ordre n!/2 : 60 éléments pour n = 5.

### Expert — Qu'a de si particulier S₆ parmi tous les groupes symétriques ?

C'est le seul dont le groupe des automorphismes extérieurs n'est pas trivial : il est d'ordre 2. Du coup S₆ possède un sous-groupe d'indice 6 transitif, sans point fixe, alors que pour tout autre n, un sous-groupe d'indice n de Sₙ est le stabilisateur d'un point. Sₙ est complet, centre trivial et automorphismes tous intérieurs, pour tout n autre que 2 et 6.

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