# Fraction rationnelle

**Thème :** Maths · Algèbre  
**Page :** https://curium.ctopass.com/c/fraction-rationnelle  
**Mise à jour :** 2026-09-11

## Les trois niveaux

### Débutant — Comment simplifier (X² − 1)/(X − 1) sans jamais diviser par zéro ?

En factorisant le numérateur : X² − 1 = (X − 1)(X + 1), donc la fraction vaut X + 1. Rien n'est divisé par zéro, parce qu'aucune valeur n'est donnée à X : une fraction rationnelle est un quotient de deux polynômes formels, et la simplification se fait entre polynômes, comme on réduit 6/4 en 3/2 sans se demander ce que vaut 4.

### Intermédiaire — Comment une fraction rationnelle peut-elle avoir un degré négatif ?

Parce que son degré est deg(P) − deg(Q), la différence entre les degrés du numérateur et du dénominateur : 1/X est de degré −1, et (X³ + 1)/(X² − 4) de degré 3 − 2 = 1. Le résultat ne dépend pas de l'écriture choisie, et le degré d'un produit reste la somme des degrés, comme pour les polynômes.

### Expert — Pourquoi le corps ℝ(X) des fractions rationnelles n'est-il pas archimédien ?

Parce qu'on peut l'ordonner en posant F ≤ G lorsque F(t) ≤ G(t) pour tout réel t assez grand : l'ordre obtenu est total, compatible avec l'addition et la multiplication par les positifs, et il contient une copie de ℝ. Or 0 < 1/X < 1, et pourtant n × (1/X) < 1 pour tout entier naturel n. Aucun multiple de 1/X ne dépasse 1 : c'est un infiniment petit devant les réels.

## À explorer ensuite

- [Polynôme](https://curium.ctopass.com/c/polynome.md)
- [Fonction inverse](https://curium.ctopass.com/c/fonction-inverse.md)
- [Anneau](https://curium.ctopass.com/c/anneau.md)
- [Application linéaire](https://curium.ctopass.com/c/application-lineaire.md)
- [Coefficient binomial](https://curium.ctopass.com/c/coefficient-binomial.md)
- [Corps commutatif](https://curium.ctopass.com/c/corps-commutatif.md)
- [Équation](https://curium.ctopass.com/c/equation.md)
- [Équation du second degré](https://curium.ctopass.com/c/equation-du-second-degre.md)
- [Espace vectoriel](https://curium.ctopass.com/c/espace-vectoriel.md)
- [Formule d'Euler](https://curium.ctopass.com/c/formule-d-euler.md)

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