# Formule d'Euler

**Thème :** Maths · Algèbre  
**Page :** https://curium.ctopass.com/c/formule-d-euler  
**Mise à jour :** 2026-09-11

## Les trois niveaux

### Débutant — Que vaut e élevé à la puissance iπ ?

−1. La formule d'Euler affirme que e^(ix) = cos x + i sin x pour tout réel x, mesuré en radians. Pour x = π, le cosinus vaut −1 et le sinus 0 : il reste e^(iπ) = −1, ce qu'on écrit aussi e^(iπ) + 1 = 0, l'identité d'Euler. En faisant varier x, le point e^(ix) parcourt le cercle de rayon 1 du plan complexe.

### Intermédiaire — Comment retrouver cos(a + b) sans apprendre la formule par cœur ?

En multipliant deux exponentielles. Puisque e^(ia) × e^(ib) = e^(i(a + b)), le produit (cos a + i sin a)(cos b + i sin b) vaut cos(a + b) + i sin(a + b). En développant puis en comparant les parties réelles, on lit cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b ; les parties imaginaires donnent le sinus. La formule d'Euler ramène la trigonométrie aux règles des puissances.

### Expert — Qui a mis en évidence la formule d'Euler avant Euler lui-même ?

Roger Cotes, en 1714, sous la forme ln(cos x + i sin x) = ix, un logarithme plutôt qu'une exponentielle. Euler la publie sous sa forme actuelle en 1748, déduite de la formule de Moivre par des équivalents et des passages à la limite. Aucun des deux n'y voit un cercle : lire les complexes comme des points d'un plan ne viendra que cinquante ans plus tard, avec Caspar Wessel.

## À explorer ensuite

- [Cercle trigonométrique](https://curium.ctopass.com/c/cercle-trigonometrique.md)
- [Nombre complexe](https://curium.ctopass.com/c/nombre-complexe.md)
- [Nombre e](https://curium.ctopass.com/c/nombre-e.md)
- [Racine de l'unité](https://curium.ctopass.com/c/racine-de-l-unite.md)
- [Sous-espace vectoriel](https://curium.ctopass.com/c/sous-espace-vectoriel.md)
- [Système linéaire](https://curium.ctopass.com/c/systeme-lineaire.md)
- [Théorème fondamental de l'algèbre](https://curium.ctopass.com/c/theoreme-fondamental-de-l-algebre.md)
- [Théorie des groupes](https://curium.ctopass.com/c/theorie-des-groupes.md)
- [Anneau](https://curium.ctopass.com/c/anneau.md)
- [Application linéaire](https://curium.ctopass.com/c/application-lineaire.md)

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