# Fonction monotone

**Thème :** Maths · Analyse  
**Page :** https://curium.ctopass.com/c/fonction-monotone  
**Mise à jour :** 2026-09-11

## Les trois niveaux

### Débutant — La fonction partie entière est-elle strictement croissante ?

Non, seulement croissante au sens large. Si x < y, on a bien E(x) ≤ E(y), mais jamais mieux : E(2,1) = E(2,9) = 2, la fonction est constante sur chaque intervalle [i, i + 1[. Strictement croissante exigerait E(x) < E(y) dès que x < y. Une fonction monotone n'est pas stricte exactement quand elle reste constante sur un intervalle non réduit à un point.

### Intermédiaire — Une dérivée qui s'annule interdit-elle la croissance stricte ?

Non. La fonction x³ a pour dérivée 3x², nulle en 0, et elle est pourtant strictement croissante sur ℝ. Le critère exact pour une fonction dérivable : f' ≥ 0 partout, et l'ensemble des points où f' s'annule ne contient aucun intervalle. La condition f' > 0 partout est suffisante, mais nullement nécessaire.

### Expert — Combien de points de discontinuité une fonction monotone peut-elle avoir ?

Au plus une infinité dénombrable : c'est le théorème de Froda, de 1929. Une fonction monotone possède en tout point des limites à gauche et à droite finies, ses seules discontinuités sont donc des sauts f(x⁺) − f(x⁻). Sur tout segment, la famille de ces sauts strictement positifs est sommable, donc au plus dénombrable : on peut les numéroter, jamais les épuiser.

## À explorer ensuite

- [Dérivée](https://curium.ctopass.com/c/derivee.md)
- [Théorème des accroissements finis](https://curium.ctopass.com/c/theoreme-des-accroissements-finis.md)
- [Théorème de Bolzano-Weierstrass](https://curium.ctopass.com/c/theoreme-de-bolzano-weierstrass.md)
- [Théorème de Rolle](https://curium.ctopass.com/c/theoreme-de-rolle.md)
- [Théorème des valeurs intermédiaires](https://curium.ctopass.com/c/theoreme-des-valeurs-intermediaires.md)
- [Théorème de Taylor](https://curium.ctopass.com/c/theoreme-de-taylor.md)
- [Théorème fondamental de l'analyse](https://curium.ctopass.com/c/theoreme-fondamental-de-l-analyse.md)
- [Valeur absolue](https://curium.ctopass.com/c/valeur-absolue.md)
- [Asymptote](https://curium.ctopass.com/c/asymptote.md)
- [Borne supérieure](https://curium.ctopass.com/c/borne-superieure.md)

---

Curium — La connaissance, une question à la fois.

App Store : https://apps.apple.com/fr/app/curium/id6793886587
Google Play : https://play.google.com/store/apps/details?id=com.ctopass.curium