# Fonction convexe

**Thème :** Maths · Analyse  
**Page :** https://curium.ctopass.com/c/fonction-convexe  
**Mise à jour :** 2026-09-11

## Les trois niveaux

### Débutant — Comment reconnaître une fonction convexe d'un seul coup d'oeil sur sa courbe ?

À la corde : en joignant deux points quelconques de la courbe par un segment, ce segment reste entièrement au-dessus de la courbe. Vue d'en dessous, la courbe est en bosse. La fonction carré est convexe : la corde entre les points d'abscisses 1 et 3 passe par (2, 5), au-dessus du point (2, 4) de la parabole.

### Intermédiaire — Que gagne-t-on à minimiser une fonction convexe plutôt qu'une autre ?

La certitude qu'un creux est le fond : tout minimum local d'une fonction convexe est un minimum global. Ailleurs, un algorithme qui descend peut se coincer dans une cuvette secondaire. Le critère pratique : une fonction deux fois dérivable est convexe si et seulement si sa dérivée seconde est positive ou nulle, comme pour la fonction exponentielle ou x⁴.

### Expert — Une fonction convexe est-elle forcément continue ?

Sur un intervalle ouvert, oui : elle y admet même une dérivée à gauche et une dérivée à droite en tout point, et n'est non dérivable qu'en un nombre au plus dénombrable de points. Aux bornes d'un intervalle fermé, non : la valeur f(a) peut dépasser la limite à droite. Et en dimension infinie, une forme linéaire non continue est convexe sans être continue.

## À explorer ensuite

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