# Espérance mathématique

**Thème :** Maths · Probabilités et statistiques  
**Page :** https://curium.ctopass.com/c/esperance-mathematique  
**Mise à jour :** 2026-09-11

## Les trois niveaux

### Débutant — Combien vaut en moyenne un lancer de dé à six faces ?

3,5 : un nombre qu'aucune face ne montre. Chaque face a une chance sur 6 de sortir, et (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)/6 = 21/6 = 3,5. C'est l'espérance du lancer, la moyenne des valeurs possibles pondérée par leur probabilité. Sur un très grand nombre de lancers, la moyenne des résultats obtenus s'approche de cette valeur.

### Intermédiaire — Que perd un joueur, en moyenne, à chaque mise sur un numéro de roulette ?

2,7 % de sa mise. La roulette française compte 37 cases : une chance sur 37 de toucher 35 fois la mise M, et 36 chances sur 37 de la perdre. L'espérance de gain vaut 35M/37 − 36M/37 = −M/37, soit environ −0,027 M. Le jeu est défavorable au joueur et favorable au casino, qui encaisse en moyenne 2,7 % de chaque mise sur un grand nombre de parties.

### Expert — Une variable aléatoire a-t-elle toujours une espérance ?

Non. Une variable qui prend les valeurs 1, −2, 3, −4… avec les probabilités c/1², c/2², c/3², c/4²… où c = 6/π² donne la somme c × (1 − 1/2 + 1/3 − 1/4 + …) = c × ln 2 ≈ 0,42. Pourtant son espérance n'existe pas : la série n'est pas absolument convergente, et le théorème de réarrangement de Riemann lui fait prendre n'importe quelle valeur en changeant l'ordre des termes.

## À explorer ensuite

- [Variance](https://curium.ctopass.com/c/variance.md)
- [Loi des grands nombres](https://curium.ctopass.com/c/loi-des-grands-nombres.md)
- [Variable aléatoire](https://curium.ctopass.com/c/variable-aleatoire.md)
- [Statistiques descriptives](https://curium.ctopass.com/c/statistiques-descriptives.md)
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- [Collecte et organisation de données](https://curium.ctopass.com/c/collecte-et-organisation-de-donnees.md)
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