# Espace vectoriel

**Thème :** Maths · Algèbre  
**Page :** https://curium.ctopass.com/c/espace-vectoriel  
**Mise à jour :** 2026-09-11

## Les trois niveaux

### Débutant — Qu'ont en commun les vecteurs du plan, les matrices et les fonctions continues ?

On peut les additionner entre eux et les multiplier par un nombre sans jamais sortir de l'ensemble : (1 ; 2) + (3 ; 4) = (4 ; 6), et 2 × (1 ; 2) = (2 ; 4). Tout ensemble muni de ces deux opérations, avec les règles de calcul habituelles, est un espace vectoriel, et ses éléments s'appellent des vecteurs, qu'ils soient flèches, tableaux de nombres ou fonctions.

### Intermédiaire — Comment savoir qu'une famille de n vecteurs est une base en dimension n ?

Il suffit qu'elle soit libre, ou qu'elle soit génératrice : en dimension n, elle est alors automatiquement les deux. Une famille libre compte au plus n vecteurs, une famille génératrice au moins n, et toutes les bases en comptent exactement n, ce qui est la définition même de la dimension.

### Expert — Quel axiome des espaces vectoriels est en fait redondant ?

La commutativité de l'addition : elle se déduit des autres en développant (1 + 1) × (u + v) de deux façons, ce qui donne u + u + v + v = u + v + u + v, puis u + v = v + u après simplification. L'axiome 1 × u = u, lui, ne peut pas être retiré : la loi λ × u = 0 pour tout λ vérifie tous les autres axiomes sans faire un espace vectoriel.

## À explorer ensuite

- [Application linéaire](https://curium.ctopass.com/c/application-lineaire.md)
- [Vecteur](https://curium.ctopass.com/c/vecteur.md)
- [Sous-espace vectoriel](https://curium.ctopass.com/c/sous-espace-vectoriel.md)
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- [Matrice](https://curium.ctopass.com/c/matrice.md)
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- [Polynôme](https://curium.ctopass.com/c/polynome.md)
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