# Espace préhilbertien

**Thème :** Maths · Géométrie  
**Page :** https://curium.ctopass.com/c/espace-prehilbertien  
**Mise à jour :** 2026-09-13

## Les trois niveaux

### Débutant — Que signifie le « pré » du mot préhilbertien ?

L'absence d'une hypothèse : la complétude. Un espace préhilbertien est un espace vectoriel, réel ou complexe, muni d'un produit scalaire, sans condition sur la dimension : les fonctions continues sur un segment, avec l'intégrale de f × g pour produit scalaire, en forment un. Quand la complétude est en plus vérifiée, l'espace prend le nom d'espace de Hilbert.

### Intermédiaire — Comment reconnaître une norme qui provient d'un produit scalaire ?

À la règle du parallélogramme : ‖x + y‖² + ‖x − y‖² = 2‖x‖² + 2‖y‖². Toute norme issue d'un produit scalaire la vérifie, et le théorème de Fréchet-von Neumann-Jordan affirme la réciproque. Le produit scalaire se retrouve alors par polarisation : dans le cas réel, ⟨x, y⟩ = (‖x + y‖² − ‖x − y‖²) / 4.

### Expert — Un opérateur qui envoie chaque vecteur sur un vecteur orthogonal est-il nul ?

Dans un espace préhilbertien complexe, oui : si ⟨a(x), x⟩ = 0 pour tout vecteur x, l'opérateur a est nul. Dans un espace réel, non : la rotation d'un quart de tour du plan envoie chaque vecteur sur un vecteur orthogonal sans être nulle. La preuve complexe remplace y par exp(iμ) y pour aligner deux arguments, un choix de phase qui n'a pas d'équivalent réel.

## À explorer ensuite

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