# Espace euclidien

**Thème :** Maths · Géométrie  
**Page :** https://curium.ctopass.com/c/espace-euclidien  
**Mise à jour :** 2026-09-13

## Les trois niveaux

### Débutant — Comment mesurer une distance dans un espace à dix dimensions ?

Avec un produit scalaire. Un espace euclidien est un espace vectoriel réel de dimension finie muni d'un produit scalaire : la norme d'un vecteur est la racine carrée de son produit scalaire par lui-même, et la distance entre deux vecteurs est la norme de leur différence. Dans ℝ³, la norme de (1 ; 2 ; 2) vaut √(1 + 4 + 4) = 3, et la recette est la même en dimension 10.

### Intermédiaire — Comment reconnaître qu'une norme provient d'un produit scalaire ?

Par la règle du parallélogramme : une norme est euclidienne si et seulement si ‖x + y‖² + ‖x − y‖² = 2(‖x‖² + ‖y‖²) pour tous vecteurs x et y. C'est le théorème de Fréchet-von Neumann-Jordan. Le produit scalaire se retrouve alors par une identité de polarisation, comme ⟨x, y⟩ = (‖x + y‖² − ‖x − y‖²)/4.

### Expert — Le groupe des isométries d'un espace suffit-il à retrouver son produit scalaire ?

Oui, à une homothétie près. Si un sous-groupe G de GL(V) est isomorphe, comme groupe topologique, au groupe orthogonal O(n), alors G est le groupe orthogonal d'un produit scalaire sur V, unique à un facteur près : multiplier le produit scalaire par un réel non nul ne change pas ses isométries. L'existence est le point profond ; l'unicité se lit sur les sphères.

## À explorer ensuite

- [Produit scalaire](https://curium.ctopass.com/c/produit-scalaire.md)
- [Espace vectoriel](https://curium.ctopass.com/c/espace-vectoriel.md)
- [Espace préhilbertien](https://curium.ctopass.com/c/espace-prehilbertien.md)
- [Théorème de Pythagore](https://curium.ctopass.com/c/theoreme-de-pythagore.md)
- [Théorème de Thalès](https://curium.ctopass.com/c/theoreme-de-thales.md)
- [Translation](https://curium.ctopass.com/c/translation.md)
- [Triangle rectangle](https://curium.ctopass.com/c/triangle-rectangle.md)
- [Trigonométrie](https://curium.ctopass.com/c/trigonometrie.md)
- [Vecteur](https://curium.ctopass.com/c/vecteur.md)
- [Volume](https://curium.ctopass.com/c/volume.md)

---

Curium — La connaissance, une question à la fois.

App Store : https://apps.apple.com/fr/app/curium/id6793886587
Google Play : https://play.google.com/store/apps/details?id=com.ctopass.curium