# Équation différentielle

**Thème :** Maths · Analyse  
**Page :** https://curium.ctopass.com/c/equation-differentielle  
**Mise à jour :** 2026-09-11

## Les trois niveaux

### Débutant — Comment une équation peut-elle décrire la chute d'une balle freinée par l'air ?

En reliant la vitesse à sa propre variation. La gravité tire vers le bas, la résistance de l'air freine proportionnellement à la vitesse, et la somme des deux forces vaut la masse fois l'accélération, dérivée de la vitesse. L'inconnue n'est plus un nombre mais la fonction v(t) : c'est une équation différentielle. Ses solutions tendent toutes vers la même vitesse limite, G/k.

### Intermédiaire — Combien de solutions possède l'équation x'' = −ω²x d'un ressort sans frottement ?

Une infinité, à deux paramètres : x(t) = A cos(ωt) + B sin(ωt), où A et B sont libres. Ce sont les conditions initiales qui les fixent. Un ressort étiré d'une unité (x = 1) et lâché immobile (x' = 0) à l'instant t = 0 impose A = 1 et B = 0, donc x(t) = cos(ωt) : une oscillation qui, sans frottement, dure indéfiniment.

### Expert — Une équation différentielle a-t-elle toujours une solution unique ?

Non. Pour y' = g(x, y) avec une condition initiale, le théorème de Cauchy-Peano-Arzelà garantit l'existence d'une solution locale, définie sur un intervalle autour du point de départ, mais il peut y en avoir plusieurs. L'unicité est acquise pour une équation linéaire d'ordre n dont les coefficients sont continus et dont le coefficient de la dérivée d'ordre n ne s'annule pas.

## À explorer ensuite

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- [Fonction convexe](https://curium.ctopass.com/c/fonction-convexe.md)
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