# Division euclidienne

**Thème :** Maths · Arithmétique & nombres  
**Page :** https://curium.ctopass.com/c/division-euclidienne  
**Mise à jour :** 2026-09-11

## Les trois niveaux

### Débutant — Comment partager 30 billes entre 7 personnes sans en couper aucune ?

En donnant 4 billes à chacun : il en reste 2 dans le sac, et l'on écrit 30 = 7 × 4 + 2. Le quotient est 4, le reste est 2. L'égalité 30 = 7 × 3 + 9 est exacte elle aussi, mais ce n'est pas une division euclidienne : il reste 9 billes pour 7 joueurs, la distribution n'est pas terminée. Le reste doit toujours être plus petit que le diviseur.

### Intermédiaire — Que vaut le reste de la division euclidienne de −17 par 5 ?

3, et non −2. Dans les entiers relatifs, le reste doit vérifier 0 ≤ r < |b| : il est toujours positif ou nul. On écrit donc −17 = 5 × (−4) + 3, avec un quotient de −4. L'écriture −17 = 5 × (−3) − 2 est exacte, mais son reste négatif ne respecte pas la convention.

### Expert — Combien de réponses un ordinateur peut-il donner pour −201 modulo 23 ?

Au moins deux. Dans Excel, la formule =MOD(-201;23) renvoie 6, conformément à −201 = 23 × (−9) + 6. En VBA, R = -201 MOD 23 donne −17, l'opposé du reste de 201 par 23. Le langage C laisse le signe du reste dépendre de la machine. La définition générale des anneaux euclidiens n'impose que |r| < |b| : c'est cette latitude qui rend les implémentations non univoques.

## À explorer ensuite

- [Plus grand commun diviseur](https://curium.ctopass.com/c/plus-grand-commun-diviseur.md)
- [Arithmétique modulaire](https://curium.ctopass.com/c/arithmetique-modulaire.md)
- [Entier relatif](https://curium.ctopass.com/c/entier-relatif.md)
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- [Nombre irrationnel](https://curium.ctopass.com/c/nombre-irrationnel.md)
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- [Nombre réel](https://curium.ctopass.com/c/nombre-reel.md)
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