# Corps commutatif

**Thème :** Maths · Algèbre  
**Page :** https://curium.ctopass.com/c/corps-commutatif  
**Mise à jour :** 2026-09-11

## Les trois niveaux

### Débutant — Que faut-il ajouter aux entiers pour pouvoir diviser ?

Des inverses. Dans Z, l'équation 2n = 1 n'a aucune solution : 2 n'est pas inversible, et Z n'est qu'un anneau. Un corps commutatif est un anneau commutatif où tout élément non nul possède un inverse pour la multiplication. Les rationnels Q, où 1/2 existe, en forment un, comme les réels R et les complexes C. Q est le plus petit corps qui contienne Z : son corps des fractions.

### Intermédiaire — Quel est le plus petit corps commutatif ?

Celui des booléens, {0, 1}, avec 1 + 1 = 0 : l'addition est le « ou exclusif », la multiplication le « et ». Un corps fini a toujours un nombre d'éléments égal à une puissance d'un nombre premier, et il en existe exactement un par puissance, à isomorphisme près : 2, 3, 4, 5, 7, 8 ou 9 éléments, jamais 6.

### Expert — Quel axiome Heinrich Weber a-t-il oublié en axiomatisant les corps en 1893 ?

L'associativité de la multiplication, qu'il utilise sans l'énoncer. Son article des Mathematische Annalen est pourtant la première véritable axiomatisation des corps commutatifs, écrite pour présenter la théorie de Galois. La théorie axiomatique définitive attend Ernst Steinitz, en 1910, dans un mémoire que Bourbaki tient pour l'origine de la conception actuelle de l'algèbre.

## À explorer ensuite

- [Anneau](https://curium.ctopass.com/c/anneau.md)
- [Nombre réel](https://curium.ctopass.com/c/nombre-reel.md)
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