# Continuité

**Thème :** Maths · Analyse  
**Page :** https://curium.ctopass.com/c/continuite  
**Mise à jour :** 2026-09-11

## Les trois niveaux

### Débutant — Où la fonction partie entière oblige-t-elle à lever le crayon ?

À chaque nombre entier. Juste avant 2, la partie entière vaut encore 1 ; en 2, elle saute à 2. Sa courbe est un escalier, et chaque marche est une discontinuité. Les fonctions polynomiales, l'exponentielle, le logarithme ou la valeur absolue, elles, sont continues sur tout leur domaine : leur courbe se trace d'un seul trait.

### Intermédiaire — Une fonction continue en un point y est-elle forcément dérivable ?

Non. Le sens vrai est l'autre : dérivable en un point implique continue en ce point. La valeur absolue et la racine carrée sont continues en 0 sans y être dérivables. Autre piège : la fonction inverse x ↦ 1/x est bel et bien continue, car 0 n'appartient pas à son domaine, et parler de sa continuité en 0 n'a aucun sens.

### Expert — Pourquoi Euler tenait-il pour discontinue une fonction sans aucun saut ?

Parce que pour lui, dans l'Introductio in analysin infinitorum, une fonction continue est donnée par une seule expression analytique. La fonction qui vaut x pour x négatif et x² pour x positif est continue au sens actuel, mais « mixte », donc discontinue, pour Euler. La définition moderne, par un écart rendu plus petit que toute valeur donnée, est celle de Bolzano, en 1816.

## À explorer ensuite

- [Théorème des valeurs intermédiaires](https://curium.ctopass.com/c/theoreme-des-valeurs-intermediaires.md)
- [Dérivabilité](https://curium.ctopass.com/c/derivabilite.md)
- [Fonction convexe](https://curium.ctopass.com/c/fonction-convexe.md)
- [Fonction exponentielle](https://curium.ctopass.com/c/fonction-exponentielle.md)
- [Fonction inverse](https://curium.ctopass.com/c/fonction-inverse.md)
- [Fonction monotone](https://curium.ctopass.com/c/fonction-monotone.md)
- [Intégrale](https://curium.ctopass.com/c/integrale.md)
- [Intégration par parties](https://curium.ctopass.com/c/integration-par-parties.md)
- [Intervalle](https://curium.ctopass.com/c/intervalle.md)
- [Limite](https://curium.ctopass.com/c/limite.md)

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