# Coefficient binomial

**Thème :** Maths · Algèbre  
**Page :** https://curium.ctopass.com/c/coefficient-binomial  
**Mise à jour :** 2026-09-11

## Les trois niveaux

### Débutant — Combien de mains de 2 cartes peut-on former avec les 4 as d'un jeu ?

Six : cœur et carreau, cœur et trèfle, cœur et pique, carreau et trèfle, carreau et pique, trèfle et pique. L'ordre ne compte pas, carreau puis pique est la même main que pique puis carreau. Ce nombre se note « 2 parmi 4 » et se lit sur la ligne 4 du triangle de Pascal : 1, 4, 6, 4, 1.

### Intermédiaire — Comment développer (x + y)^5 sans multiplier cinq parenthèses ?

Avec la ligne 5 du triangle de Pascal, 1, 5, 10, 10, 5, 1, qui donne les coefficients : (x + y)^5 = x^5 + 5x^4y + 10x³y² + 10x²y³ + 5xy^4 + y^5. C'est la formule du binôme de Newton : le coefficient de x^(n−k) y^k dans (x + y)^n est « k parmi n ».

### Expert — Un coefficient binomial peut-il être un carré parfait ?

Oui près des bords : 2 parmi 50 vaut 1 225 = 35², et 3 parmi 50 vaut 19 600 = 140². Mais pour 4 ≤ k ≤ n − 4, Paul Erdős a démontré en 1951 que « k parmi n » n'est jamais un carré, ni aucune puissance d'ordre supérieur. Les carrés ne peuvent survivre que sur les quatre colonnes de chaque bord du triangle de Pascal.

## À explorer ensuite

- [Loi binomiale](https://curium.ctopass.com/c/loi-binomiale.md)
- [Combinaison](https://curium.ctopass.com/c/combinaison.md)
- [Théorie des groupes](https://curium.ctopass.com/c/theorie-des-groupes.md)
- [Anneau](https://curium.ctopass.com/c/anneau.md)
- [Application linéaire](https://curium.ctopass.com/c/application-lineaire.md)
- [Corps commutatif](https://curium.ctopass.com/c/corps-commutatif.md)
- [Équation](https://curium.ctopass.com/c/equation.md)
- [Équation du second degré](https://curium.ctopass.com/c/equation-du-second-degre.md)
- [Espace vectoriel](https://curium.ctopass.com/c/espace-vectoriel.md)
- [Formule d'Euler](https://curium.ctopass.com/c/formule-d-euler.md)

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Curium — La connaissance, une question à la fois.

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