# Borne supérieure

**Thème :** Maths · Analyse  
**Page :** https://curium.ctopass.com/c/borne-superieure  
**Mise à jour :** 2026-09-11

## Les trois niveaux

### Débutant — L'intervalle ]0, 1[ a-t-il un plus grand élément ?

Non. Quel que soit le nombre choisi dedans, 0,9 ou 0,999, il en existe un plus grand encore dans l'intervalle, puisque 1 en est exclu. Pourtant 1 borne l'ensemble : c'est le plus petit de ses majorants, sa borne supérieure. Une borne supérieure existe donc sans appartenir à l'ensemble, et 0 joue le même rôle de borne inférieure.

### Intermédiaire — Que manque-t-il aux rationnels de carré inférieur à 2 pour avoir une borne supérieure ?

Un nombre qui n'est pas rationnel. Dans R, cet ensemble admet √2 comme borne supérieure et −√2 comme borne inférieure. Dans Q, il est majoré, par 2 par exemple, mais aucun rationnel n'est le plus petit de ses majorants. Q n'a pas la propriété de la borne supérieure ; R l'a, et c'est ce qui sépare les deux.

### Expert — Quelle borne supérieure possède l'ensemble vide sur la droite réelle achevée ?

−∞. Sur R ∪ {−∞, +∞}, tout élément majore l'ensemble vide, faute d'élément à dépasser, et le plus petit de ces majorants est −∞. Par le même raisonnement, sa borne inférieure est +∞. Dans R, le vide n'a ni l'une ni l'autre. La droite achevée est un treillis complet : chacune de ses parties, vide comprise, possède un sup et un inf, ce qui n'est pas le cas de R.

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