# Bijection

**Thème :** Maths · Logique mathématique  
**Page :** https://curium.ctopass.com/c/bijection  
**Mise à jour :** 2026-09-11

## Les trois niveaux

### Débutant — Comment loger des touristes pour que chaque chambre ait exactement un occupant ?

En attribuant à chaque touriste une chambre, sans chambre vide ni chambre partagée : c'est une bijection entre l'ensemble des touristes et celui des chambres. L'hôtelier veut toutes les chambres occupées, une surjection ; les touristes veulent chacun la leur, une injection. Les deux souhaits ne sont compatibles que s'il y a autant de touristes que de chambres.

### Intermédiaire — Sur quel intervalle la fonction sinus devient-elle une bijection sur [−1, 1] ?

Sur [−π/2, π/2], entre autres. De R dans R, sinus n'est ni injective, puisque 0 et π ont la même image, ni surjective, puisque 2 n'est l'image de personne. Restreinte à [−π/2, π/2] et à valeurs dans [−1, 1], elle devient bijective, de réciproque arc sinus.

### Expert — Que garantit le théorème de Cantor-Bernstein à partir de deux injections ?

Une bijection. S'il existe une injection de E vers F et une injection de F vers E, sans qu'aucune soit surjective, E et F sont pourtant équipotents : Cantor l'a démontré le premier. C'est l'outil qui compare les infinis. N et Q ont ainsi la même taille, alors que de N vers R il existe des injections mais aucune surjection : R est strictement plus grand.

## À explorer ensuite

- [Application](https://curium.ctopass.com/c/application.md)
- [Dénombrement](https://curium.ctopass.com/c/denombrement.md)
- [Ensemble](https://curium.ctopass.com/c/ensemble.md)
- [Paradoxe de Russell](https://curium.ctopass.com/c/paradoxe-de-russell.md)
- [Quantificateur](https://curium.ctopass.com/c/quantificateur.md)
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- [Relation d'équivalence](https://curium.ctopass.com/c/relation-d-equivalence.md)
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