# Anneau

**Thème :** Maths · Algèbre  
**Page :** https://curium.ctopass.com/c/anneau  
**Mise à jour :** 2026-09-11

## Les trois niveaux

### Débutant — Que manque-t-il aux entiers naturels pour former un anneau ?

Des opposés. Dans un anneau, tout élément a possède un opposé −a tel que a + (−a) = 0 ; dans N, l'équation 3 + x = 0 n'a aucune solution. Les entiers relatifs Z, eux, en forment un, et N n'est qu'un semi-anneau.

### Intermédiaire — Comment un produit peut-il valoir zéro sans qu'aucun facteur soit nul ?

Dans un anneau qui possède des diviseurs de zéro. Dans Z/6Z, les entiers comptés modulo 6, le produit 2 × 3 = 6 vaut 0 alors que ni 2 ni 3 ne sont nuls. Même chose avec les matrices carrées : AB = AC n'entraîne pas B = C, même si A n'est pas la matrice nulle. Un anneau commutatif sans diviseur de zéro, comme Z, est dit intègre.

### Expert — Pourquoi les mathématiciens ne s'accordent-ils pas sur la définition d'un anneau ?

À cause de l'élément unité. Une minorité d'auteurs n'exigent pas de neutre pour la multiplication ; Bourbaki l'exige et appelle pseudo-anneau la structure qui en est privée, comme les entiers pairs 2Z. D'où la précaution de dire « anneau unitaire », ou « unifère ». Le mot lui-même, Ring, est de David Hilbert, dans son Zahlbericht de 1897.

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